AさんとBさんに、お金が入っている二つの封筒が配られました。
二つの封筒のうち、1つには二倍の金額が入っていることがお互いに告げられています。
配られた封筒を開けると、Aさんの封筒には1万円、Bさんの封筒には2万円が入っていました。
このとき、相手の開けた封筒にいくら入っているのかは、お互いにわかりません。
相手の金額を知る前であれば、封筒の交換を申し出ることができます。
AさんとBさんは交換を申し出るべきでしょうか？
まずはAさんの立場になって考えてみましょう。
自分の封筒の中身が1万円ならば、Bさんの封筒の中身は5千円か2万円のはずです。
損したときは5千円減るのに対して、得したときは1万円増えるのですから、感覚的にも交換を申し出た方がよさそうです。
期待値を計算してみると
（5千円＋2万円）÷2＝12500円になります。
1.25倍の金額が期待されるのですから、やはり交換を申し出た方がよいでしょう。
続いてBさんの立場になって考えてみましょう。
自分の封筒の中身が2万円ならば、Aさんの封筒の中身は1万円か4万円のはずです。
こちらも期待値を計算してみると
（1万円＋4万円）÷2＝25000円になります。
同じく1.25倍の金額が期待されるのですから、Bさんも交換を申し出た方がよいことになります。
これには少し違和感を覚えます。
実際に交換したときはBさんが損するのですが、期待値的には二人ともプラスです。
どちらかが得をしたときに、必ずもう片方が損をするようなゲームで、このようなことがあり得るのでしょうか？
この問題は二つの封筒問題とよばれていて、モンティ・ホール問題と同じく確率のパラドックスとして有名です。
二つの封筒問題はいくつもの錯覚によって、確率の間違いを起こしやすい問題です。
わかりやすくするために、少し問題を変えてみましょう。
AさんとBさんに、お金が入っている二つの封筒が配られました。
二つの封筒のうち、1つには二倍の金額が入っていることがお互いに告げられています。
開封前であれば、封筒の交換を何度でも申し出ることができます。
AさんとBさんは交換を申し出るべきでしょうか？
最初の問題と違うところは、封筒がまだ開けれれておらず、中身の金額がわからないということです。
このとき、自分の封筒の中身をx、もう片方の封筒の中身をeとすると
e=0.5(x/2)+0.5(2x)=1.25xとなります。
もう片方の中身に1.25倍の期待値があるのですから、AさんBさんともに封筒の交換を申し出るはずです。
しかしこの考え方だと、お互い永久に封筒を交換しつづける、という奇妙な結論に至ります。
この問題は、交換後の期待値が常に1.25倍である、という錯覚によって起こります。
もしそうであるならば、1.25×1.25×1.25×・・・と無限に期待値は膨らんでいくはずです。
しかし実際は、以下のように考えることで錯覚から抜け出すことができます。
A)交換後の中身が倍額だった場合
交換前の中身は必ず半額（x/2）である。
B)交換後の中身が半額だった場合
交換前の中身は必ず倍額（2x）である。
つまり、交換しつづけても半減と倍増を繰り返すだけなので、期待値は一定で変わりません。
この錯覚は、交換後の金額を基準点として、次の交換後の期待値を計算できるという勘違いから起こります。
交換後に倍額になる確率は50％ではありません。
交換後に倍額になる確率は0％か100％なのです。
ではもう一度、Aさんの立場になって考えてみましょう。
封筒の中身が1万円と2万円の組み合わせである確率をpとすると
封筒の中身が5千円と1万円の組み合わせである確率は1-pです。
どちらの組み合わせでも、中身が1万円である確率は50％です。
よって、Aさんの開けた封筒の中身が1万円である確率は
0.5p+0.5(1-p)=0.5になります。
ですが、ここで重要なのがp=0.5ではない、ということです。
封筒の中身が1万円と2万円の組み合わせである確率と、5千円と1万円の組み合わせである確率は等しくありません。
金額の組み合わせは、中身を入れる人のさじ加減によって決まるからです。
もし仮に、封筒の中身が半々の確率で（1万円と2万円）、（1万円と5千円）という組み合わせであるならば、先に述べたとおり、Aさんは封筒を交換した方がよいことになります。
e=0.5(2万円）+0.5(5千円）=12500円
しかし、この場合はBさんは絶対に交換に応じません。
なぜなら、封筒の中身がこのような組み合わせだった場合は、2万円が入っている封筒を開けたBさんは、交換すれば必ず損するからです。
Bさんが交換に応じるのは、交換したときに倍額の4万円になる可能性がある場合だけです。
二つの封筒問題は数字の錯覚を起こしやすく、数々の議論が繰り返し行われてきました。
実は、上記に述べた考え方も、錯覚による誤りが含まれています。
以下に、正しい考え方を示します。
【解答】
封筒の中身をそれぞれｘ、2ｘとします。
1)受け取った封筒がｘならば、もう片方の封筒の中身は2ｘ
2)受け取った封筒が2ｘならば、もう片方の封筒の中身はｘ
封筒を交換した場合、前者はｘ円の得をして、後者はｘ円の損をします。
e=0.5(2x-x)+0.5(x-2x)=0
つまり、最初にあげた問題の条件であれば、封筒を交換しようがしまいが、期待値は変わらないということになります。
この問題のポイントは、従属事象にもかかわらず独立事象のように扱ってしまうため、錯覚が生じることです。
二つの封筒の中身は(x、2x）でなければならないのに、自分の封筒の中身を基準として、もう片方の中身を(x/2、2x)と考えてしまっているのが誤りです。
ですから、封筒を交換したときに、期待値が1.25倍にあがるように考えるのは錯覚です。
正しくは、pの確率で倍額になるか、1-pの確率で半額になってしまう、といえるだけなのです。
確実に倍額になるのは、封筒の中身が奇数だった場合だけです。
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